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2020年高考加油,每日一题41:正弦有关的综合题讲解
  
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14: 00: 00吴国平数学教育

典型的例子分析1:

在ΔABC中,a,b和c分别是内角A,B和C的相对侧,并满足(1-cosB)=bcosA,c=3,S△ABC=2√2,则b=。

解:根据正弦定理,sinA(1-cosB)=sinBcosA,

∴sinA=sinAcosB + sinBcosA=SIN(A + B),

∵A+ B=π-C,

∴sinA=sinC,即a=c=3,

∵S△ABC=1/2acsinB=2√2,

∴1/2×3×3×SINB=2√2,

求解sinB=4√2/9,

∴cosB=±√(1-sin2B)=±7/9,

根据余弦定理,b2=a2 + c2-2accosB,

当cosB=7/9时,b2=9 + 9-2×9×7/9=4,b=2,

当cosB=-7/9时,b2=9 + 9 + 2×9×7/9=32,b=4√2,

∴b=4√2或2,

所以答案是:4√2或2.

测试现场分析:

正弦定理。

问题分析:

获得a的值,通过三角形的面积公式获得sinB,从平方关系获得cosB,并且通过余弦定理获得b的值。

典型的例子分析2:

在ΔABC中,BC=2√2,AC=2,并且cos(A + B)= - √2/2。

(I)找出AB的长度;

(II)如果f(x)=sin(2x + C),找到y=f(x)和y=√3/2的相邻交点之间的最小距离。

解答:(I)∵cosC=cos [π-(A + B)]= - cos(A + B)=√2/2,

∴C=45°。

∵BC=2√2,AC=2,

∴AB2=AC2 + BC2-2ACBCcosC=(2√2)2 +22-8√2cos45°=4,

∴AB=2。

(II)由f(x)=sin(2x +π/4)=√3/2,

求解2x +π/4=2kπ+π/3或2x +π/4=2kπ+2π/3,k∈Z,

求解x1=k1π+π/24,或x2=k2π+5π/24,k1,k2∈Z。

因为| x1-x2 |=|(k1-k2)π+π/6 |≥π/6,

当k1=k2时,取等号,

因此,当f(x)=√3/2时,两个相邻交点之间的最小距离为π/6。

测试现场分析:

双角度和差分余弦函数;正弦函数的图像。

问题分析:

(I)利用归纳公式得到cosC,可以得到C的值,利用余弦定理可以得到AB的长度。

(II)从f(x)=sin(2x + C),求出x1和x2的值,得到| x1-x2 |的最小值。

典型的例子分析1:

在ΔABC中,a,b和c分别是内角A,B和C的相对侧,并满足(1-cosB)=bcosA,c=3,S△ABC=2√2,则b=。

解:根据正弦定理,sinA(1-cosB)=sinBcosA,

∴sinA=sinAcosB + sinBcosA=SIN(A + B),

∵A+ B=π-C,

∴sinA=sinC,即a=c=3,

∵S△ABC=1/2acsinB=2√2,

∴1/2×3×3×SINB=2√2,

求解sinB=4√2/9,

∴cosB=±√(1-sin2B)=±7/9,

根据余弦定理,b2=a2 + c2-2accosB,

当cosB=7/9时,b2=9 + 9-2×9×7/9=4,b=2,

当cosB=-7/9时,b2=9 + 9 + 2×9×7/9=32,b=4√2,

∴b=4√2或2,

所以答案是:4√2或2.

测试现场分析:

正弦定理。

问题分析:

获得a的值,通过三角形的面积公式获得sinB,从平方关系获得cosB,并且通过余弦定理获得b的值。

典型的例子分析2:

在ΔABC中,BC=2√2,AC=2,并且cos(A + B)= - √2/2。

(I)找出AB的长度;

(II)如果f(x)=sin(2x + C),找到y=f(x)和y=√3/2的相邻交点之间的最小距离。

解答:(I)∵cosC=cos [π-(A + B)]= - cos(A + B)=√2/2,

∴C=45°。

∵BC=2√2,AC=2,

∴AB2=AC2 + BC2-2ACBCcosC=(2√2)2 +22-8√2cos45°=4,

∴AB=2。

(II)由f(x)=sin(2x +π/4)=√3/2,

求解2x +π/4=2kπ+π/3或2x +π/4=2kπ+2π/3,k∈Z,

求解x1=k1π+π/24,或x2=k2π+5π/24,k1,k2∈Z。

因为| x1-x2 |=|(k1-k2)π+π/6 |≥π/6,

当k1=k2时,取等号,

因此,当f(x)=√3/2时,两个相邻交点之间的最小距离为π/6。

测试现场分析:

双角度和差分余弦函数;正弦函数的图像。

问题分析:

(I)利用归纳公式得到cosC,可以得到C的值,利用余弦定理可以得到AB的长度。

(II)从f(x)=sin(2x + C),求出x1和x2的值,得到| x1-x2 |的最小值。

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